أراد علماء الرياضيات فهم أفضل لهذه الأرقام التي تشبه إلى حد بعيد العناصر الأساسية في نظرية الأعداد ، الأعداد الأولية. اتضح أنه في عام 1899 – قبل عقد من نتيجة كارمايكل – توصل عالم رياضيات آخر ، ألوين كورسلت ، إلى تعريف مماثل. إنه ببساطة لم يكن يعرف ما إذا كانت هناك أي أرقام تتناسب مع الفاتورة.
وفقًا لمعيار كورسيلت ، هناك رقم ن هو رقم كارمايكل إذا وفقط إذا كان يفي بثلاث خصائص. أولاً ، يجب أن يحتوي على أكثر من عامل أولي واحد. ثانيًا ، لا يمكن تكرار أي عامل أولي. وثالثًا ، لكل رئيس ص التي تقسم نو ص – 1 قسّم أيضًا ن 1. فكر مرة أخرى في الرقم 561. إنه يساوي 3 × 11 × 17 ، لذلك من الواضح أنه يفي بالخاصيتين الأوليين في قائمة Korselt. لإظهار الخاصية الأخيرة ، اطرح 1 من كل عامل أولي للحصول على 2 و 10 و 16. بالإضافة إلى ذلك ، اطرح 1 من 561. جميع الأرقام الثلاثة الأصغر هي قواسم من 560. لذا فإن الرقم 561 هو رقم كارمايكل.
على الرغم من أن علماء الرياضيات اشتبهوا في وجود عدد لا نهائي من أرقام كارمايكل ، إلا أن هناك عددًا قليلاً نسبيًا مقارنة بالأعداد الأولية ، مما جعل من الصعب تحديدها. ثم في عام 1994 ، نشر ريد ألفورد وأندرو جرانفيل وكارل بوميرانس ورقة بحثية أثبتوا فيها أخيرًا أن هناك بالفعل عددًا لا نهائيًا من هذه الجرائم الكاذبة.
لسوء الحظ ، لم تسمح التقنيات التي طوروها لهم بقول أي شيء عما تبدو عليه أرقام كارمايكل. هل ظهرت في مجموعات على طول خط الأعداد ، مع وجود فجوات كبيرة بينهما؟ أو هل يمكنك دائمًا العثور على رقم كارمايكل في فترة زمنية قصيرة؟ قال جرانفيل: “قد تعتقد أنه إذا كان بإمكانك إثبات أن هناك عددًا لا نهائيًا منهم ، فمن المؤكد أنك ستتمكن من إثبات عدم وجود فجوات كبيرة بينهما ، ويجب أن تكون متباعدة بشكل جيد نسبيًا.”
على وجه الخصوص ، كان هو وزملاؤه يأملون في إثبات تصريح يعكس هذه الفكرة – مع الأخذ في الاعتبار عددًا كبيرًا بما فيه الكفاية Xسيكون هناك دائمًا رقم كارمايكل بين X و 2X. قال جون غرانثام ، عالم الرياضيات في معهد تحليلات الدفاع الذي قام بعمل ذي صلة: “إنها طريقة أخرى للتعبير عن مدى انتشارها في كل مكان”.
لكن لعقود ، لم يستطع أحد إثبات ذلك. قال بوميرانس إن التقنيات التي طورها ألفورد وجرانفيل وبوميرانس “سمحت لنا بإظهار أنه سيكون هناك العديد من أرقام كارمايكل” ، لكنها لم تسمح لنا حقًا بالحصول على قدر كبير من التحكم في المكان الذي سيكونون فيه. “
بعد ذلك ، في تشرين الثاني (نوفمبر) 2021 ، فتح جرانفيل بريدًا إلكترونيًا من لارسن ، الذي كان آنذاك يبلغ من العمر 17 عامًا وفي سنته الأخيرة من المدرسة الثانوية. تم إرفاق ورقة – ودهشة جرانفيل ، بدت صحيحة. قال “لم تكن أسهل قراءة على الإطلاق”. لكن عندما قرأته ، كان من الواضح تمامًا أنه لا يعبث. كانت لديه أفكار رائعة “.
ووافق بوميرانس ، الذي قرأ نسخة لاحقة من العمل ، على هذا الرأي. قال “برهانه متقدم حقًا”. ستكون ورقة يفخر أي عالم رياضيات بكتابتها. وها هو طفل في المدرسة الثانوية يكتبها “.
