دليل جديد على الكمبيوتر “يفجر” معادلات السوائل التي تعود إلى قرون

لعدة قرون ، علماء الرياضيات سعى إلى فهم ونمذجة حركة السوائل. ساعدت المعادلات التي تصف كيف تجعد التموجات على سطح البركة أيضًا الباحثين على التنبؤ بالطقس ، وتصميم طائرات أفضل ، وتوصيف كيفية تدفق الدم عبر الدورة الدموية. هذه المعادلات بسيطة بشكل مخادع عند كتابتها باللغة الرياضية الصحيحة. ومع ذلك ، فإن حلولهم معقدة للغاية لدرجة أن فهم حتى الأسئلة الأساسية حولهم يمكن أن يكون صعبًا للغاية.

ربما تصف أقدم وأبرز هذه المعادلات ، التي صاغها ليونارد أويلر منذ أكثر من 250 عامًا ، تدفق سائل مثالي غير قابل للضغط: سائل بلا لزوجة ، أو احتكاك داخلي ، ولا يمكن دفعه إلى حجم أصغر. قال طارق الجندي ، عالم الرياضيات في جامعة ديوك: “جميع معادلات السوائل غير الخطية تقريبًا مستمدة نوعًا ما من معادلات أويلر”. “يمكن القول إنهم الأوائل”.

ومع ذلك ، لا يزال الكثير غير معروف بشأن معادلات أويلر – بما في ذلك ما إذا كانت دائمًا نموذجًا دقيقًا لتدفق السوائل المثالي. تتمثل إحدى المشكلات المركزية في ديناميكيات الموائع في معرفة ما إذا كانت المعادلات قد فشلت على الإطلاق ، مما ينتج عنه قيم غير منطقية تجعلها غير قادرة على التنبؤ بحالة السائل المستقبلية.

لطالما اشتبه علماء الرياضيات في وجود شروط أولية تؤدي إلى انهيار المعادلات. لكنهم لم يتمكنوا من إثبات ذلك.

في نسخة أولية نُشرت على الإنترنت في أكتوبر ، أظهر زوجان من علماء الرياضيات أن نسخة معينة من معادلات أويلر تفشل بالفعل في بعض الأحيان. يمثل البرهان اختراقًا كبيرًا – وعلى الرغم من أنه لا يحل المشكلة تمامًا بالنسبة للنسخة الأكثر عمومية من المعادلات ، فإنه يوفر الأمل في أن مثل هذا الحل في متناول اليد أخيرًا. قال تريستان باكماستر ، عالم رياضيات في جامعة ماريلاند لم يشارك في هذا العمل ، “إنها نتيجة مذهلة”. “لا توجد نتائج من نوعها في الأدب.”

هناك صيد واحد فقط.

إن الإثبات المكون من 177 صفحة – نتيجة برنامج بحث دام عقدًا من الزمان – يستخدم بشكل كبير أجهزة الكمبيوتر. يمكن القول إن هذا يجعل من الصعب على علماء الرياضيات الآخرين التحقق من ذلك. (في الواقع ، لا يزالون في طور القيام بذلك ، على الرغم من أن العديد من الخبراء يعتقدون أن العمل الجديد سيكون صحيحًا). كما أنه يجبرهم على التفكير في الأسئلة الفلسفية حول ماهية “الدليل” وماذا سيكون . يعني ما إذا كانت الطريقة الوحيدة القابلة للتطبيق لحل مثل هذه الأسئلة المهمة في المستقبل هي بمساعدة أجهزة الكمبيوتر.

رؤية الوحش

من حيث المبدأ ، إذا كنت تعرف موقع وسرعة كل جسيم في السائل ، فيجب أن تكون معادلات أويلر قادرة على التنبؤ بكيفية تطور السائل طوال الوقت. لكن علماء الرياضيات يريدون معرفة ما إذا كان هذا هو الحال بالفعل. ربما في بعض الحالات ، ستستمر المعادلات كما هو متوقع ، وتنتج قيمًا دقيقة لحالة السائل في أي لحظة معينة ، فقط لواحدة من هذه القيم ترتفع فجأة إلى ما لا نهاية. عند هذه النقطة ، يُقال أن معادلات أويلر تؤدي إلى “التفرد” – أو ، بشكل أكثر دراماتيكية ، إلى “التفجير”.

بمجرد أن يصلوا إلى هذا التفرد ، لن تكون المعادلات قادرة على حساب تدفق السائل. لكن “منذ بضع سنوات مضت ، ما كان الناس قادرين على فعله كان بعيدًا جدًا جدًا [proving blowup]قال تشارلي فيفرمان ، عالم رياضيات في جامعة برينستون.

يصبح الأمر أكثر تعقيدًا إذا كنت تحاول تصميم مائع له لزوجة (كما تفعل جميع سوائل العالم الحقيقي تقريبًا). تنتظر جائزة الألفية التي تبلغ قيمتها مليون دولار من معهد كلاي للرياضيات أي شخص يمكنه إثبات ما إذا كانت حالات الفشل المماثلة تحدث في معادلات نافيير-ستوكس ، وهو تعميم لمعادلات أويلر التي تفسر اللزوجة.